Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций
Определение непрерывности функции в точке и передела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции способствует непосредственному вычислению пределов.
Значение предела в точке непрерывности определено значением функции в этой точке.
При опоре на свойства основные элементарные функции имеют предел в любой точке из области определения, вычисляется как значение соответствующей функции в этих точках.
Произвести вычисление предела функции lim x → 5 a r c t g 3 5 · x
Функция арктангенса отличается непрерывностью на всей своей области определения. Отсюда получим, что в точке x 0 = 5 функция является непрерывной. Из определения имеем, что для нахождения предела является значением этой же функции. Тогда необходимо произвести подстановку. Получим, что
lim x → 5 a r c t g 3 5 · x = a r c t g 3 5 · 5 = a r c t g 3 = π 3
Для упрощения выражений применяют свойства пределов:
Для того, чтобы научиться вычислять переделы, необходимо знать и разбираться в основных элементарных функциях. Ниже приведена таблица, в которой имеются переделы этих функций с приведенными разъяснениями и подробным решением. Для вычисления необходимо основываться на определении предела функции в точке и на бесконечности.
Таблица пределов функции
Для упрощения и решения пределов используется данная таблица основных пределов.
Функция корень n-ой степени
Для любых x 0 из опрелеления
lim x → x 0 x n = x 0 n
Функция корень n-ой степени
lim x → x 0 x n = x 0 n
Показательная функия
Для любых x 0 из области опреления lim x → x 0 a x = a x 0
Показательная функия
Для любых знвчений x 0 из област опредения lim x → x 0 a x = a x 0
Логарифмическая функция
Для любых x 0 из области опрелеления lim x → x 0 log a x = log a x 0
Логарифмическая функция
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 log a x = log a x 0
lim x → ∞ t g x не существует
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 t g x = t g x 0
lim x → ∞ c t g x не существует
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 с t g x = с t g x 0
Обратные тригонометрические функции
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c sin x = a r c sin x 0
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c c i s x = a r c cos x 0
Обратные тригонометрические функции
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c t g x = a r c t g x 0
Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 a r c c t g x = a r c c t g x 0
По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что
Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила.
Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций.
Предел константы
Предел функции корень n-ой степени
Предел степенной функции
Необходимо разделить все степенные функции по группам, где имеются одинаковые значения пределов, исходя из показателя степени.
Предел показательной функции
Предел логарифмической функции
Предел тригонометрических функций
Предел обратных тригонометрических функций
Все имеющееся значения пределов применяются в решении для нахождения предела любой из элементарных функций.
Пределы с тригонометрическими функциями
Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:
Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.
Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).
Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.
Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.
Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.
Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.
Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.
Подставляем в предел и получаем готовый ответ.
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами
Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения пределов тригонометрических функций
Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.
Первый замечательный предел выглядит следующим образом:
Главным следствием первого замечательного предела считают:
Также следствиями являются:
Нужна помощь в написании работы?
Примеры решения пределов тригонометрических функций
Задание
Найти предел функции:
Решение
Заменим значение х на число, к которому стремится функция:
Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:
Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно
Таким образом найдём предел функции:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость
Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.
Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:
Преобразуем функцию и упростим её:
Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:
Задание
Найти предел функции:
Решение
Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:
Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:
Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:
Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
При подстановке х снова получаем неопределённость
Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.
Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х
Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:
Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:
Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:
Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:
Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.
Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
При простом вычислении получаем неопределённость
Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:
Разделим пример на множители.
Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:
Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:
Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.
Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:
Задание
Найти предел функции:
Решение
При подстановке числа видим неопределённость.
Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:
Подставим в функцию:
Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.
Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела.
Найдём ответ.
Задание
Вычислить предел функции:
Решение
Здесь так же получим неопределённость:
Значит, введём новую переменную t:
Подставим получившиеся значения в пример и найдём предел:
