как доказать что это средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство

Доказать: МЕАС, МЕ = АС.

Доказательство:

В треугольниках МВЕ и АВС:

Следовательно, треугольники МВЕ и АВС подобны (по 2 признаку подобия треугольников), поэтому 1 =2 и .

Из равенства следует, что МЕ = АС. Теорема доказана.

Задача:

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказать: АА₁ВВ₁СС₁ = О, АО : ОА₁ = ВО : ОВ₁ = СО : ОС₁ = 2 : 1.

Доказательство:

. (1)

.

Следовательно, точка О, в которой пересекаются медианы АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, значит, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник