как доказать что функция четная

Понятие четной и нечетной функции

Понятие четности и нечетности функции

Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.

Четная функция

Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

График четной функции симметричен относительно оси Ох.

Нечетная функция

Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Произведение четной и нечетной функции

Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Пусть \(f(x)\) — четная функция, а \(g(x)\) — нечетная. Тогда \(f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).\)

Исследование функций в примерах

Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.

1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)

1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\)

Рассмотрим первую функцию:

1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.

Рассмотрим вторую функцию:

Источник

Четные и нечетные функции

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, — четные функции.

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, — нечетные функции.

Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:

1. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).

Область определения функции

Проверим, является ли чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна.

— значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля.

2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной)

Область определения: все действительные числа.

— чётная, как сумма двух чётных функций.

Её график симметричен относительно оси y.

3. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).

Область определения функции симметрична относительно нуля.

— чётная, её график симметричен относительно оси y.

Источник

Чётная функция

Чётная функция — это функция y=f(x), для любого значения x из области определения которой выполняется равенство:

В некоторых источниках условие симметрии области определения функции относительно нуля включают в определение чётной функции.

Чтобы доказать, что функция y=f(x) чётная, достаточно показать, что равенство f(-x)=f(x) выполняется при любых значениях x из области определения функции.

Доказать, что y=f(x) не является чётной функцией, можно двумя способами:

1) показать, что равенство f(-x)=f(x) не выполнено;

2) показать, что область определения y=f(x) не симметрична относительно нуля.

Примеры чётных функций:

Свойства чётных функций

1) График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

Пусть y= f(x) — чётная функция.

Так как y= f(x) — чётная функция, то f(-a)=f(a)=b.

Значит, точка A1 (-a; b ) также принадлежит графику функции y= f(x).

Точки A (a; b) и A1 (-a; b) симметричны относительно оси Оy, то есть ось ординат является для графика функции y= f(x) осью симметрии.

Примеры графиков чётных функций — y=x², y=cos x, y=|х|.

2) Сумма, разность, произведение и частное чётных функций являются чётными функциями.

Пусть f(x) и g(x) — чётные функции, то есть f(-x)= f(x), g(-x)= g(x).

Определить, является ли функция чётной:

Условие y(-x)=y(x) выполнено. Следовательно, данная функция — чётная.

функция y=f(x) — чётная.

g(x) является чётной функцией.

данная функция не является чётной.

Функция не чётная, так как уё область определения — x∈ (-∞;1) и (1; ∞ ) не симметрична относительно точки x=0.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №2 Чётность и нечётность тригонометрических функций. Периодичность.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения xиз множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).

Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).

Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |ОА| к длине гипотенузы |ОВ|.

Область. определения функции (D) — множество R всех действительных чисел

Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —ограниченная.

Для того, чтобы определить чётность функции косинус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).

Например, cos(60°) = ½ = cos(–60°)–это значит, что : cos(−x)=cos x для всех x∈R и у=сosx–чётная

Сиинус(sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |АВ| к длине гипотенузы |ОВ|.

Область определения функции (D) — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —ограниченная.

Для того, чтобы определить чётность функции синус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).

Например, sin(30°) = ½ sin(–30°) = –½ –это значит, что : sin(−x)=–sin (x) для всех x∈R и y=sinx–нечётная

–нечётная

Период функций y=sin x, y=cos xравен 2π, период функций tgx, ctgx равен π.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Выясним, является ли функция

чётной или нечётной?

Пример 2. Доказать, что число 2π является наименьшим положительным периодом функции y=cos x

Пусть Т>0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos (x+T)= cos x. Положив х=0, получим cos T=1. Отсюда Т=2πk, x∈R. Так как Т>0, то может принимать значения 2π, 4π, 6π,…, и поэтому период не может быть меньше 2π

Источник

Четные и нечетные функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Четные функции

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Нечетные функции

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).