Линейные пространства: определение и примеры
Аксиомы линейного пространства
1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.
2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.
3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.
4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Следствия аксиом линейного пространства
1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.
6. В выражениях вида (сумма конечного числа векторов) или (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.
Остальные свойства доказываются аналогично.
Примеры линейных пространств
2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.
5. Обозначим — множество матриц размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество является линейным пространством.
Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.
Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.
Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведение определяются равенствами:
Определение линейного пространства
Определение линейного пространства
Пусть L – некоторое множество, элементы которого называются векторами, причём любой упорядоченной паре векторов x, y 
L сопоставлен единственный вектор z 
L, который называется суммой векторов x и y и обозначается x+y. Пусть также Р – некоторое поле, элементы которого называются скалярами и для любого скаляра k P и любого вектора x L определён единственный вектор d L, который называется произведением скаляра k на вектор х, или произведением вектора х на скаляр k, обозначается kx. Множество L называется линейным пространством над полем Р, если выполняются следующие аксиомы:
1). Для любых элементов x, y L имеет место равенство x+y=y+x (коммутативный закон сложения).
2). Для любых x, y, z L имеет место равенство (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативный закон сложения элементов из L).
3). В множестве L найдется такой элемент (обозначим его символом 0 и назовем нулевым элементом), что для любого элемента x L имеет место равенство x+0=x (особая роль нулевого элемента).
4). Для любого элемента x L найдется в этом множестве элемент (обозначим его символом –x и назовем его противоположным элементом x), что x+(–x)=0.
5). Для любого элемента x L и числа 1 P имеет место равенство 1∙x=x (особая роль числа 1).
6). Для любых чисел α и β P и любого элемента x L имеет место равенство (αβ)x=α(βx) (ассоциативный закон умножения элементов поля Р).
7). Для любых чисел α и β P и любого элемента x L имеет место равенство (α+β)x=αx+βx (дистрибутивный закон относительно суммы элементов поля Р).
8). Для любого числа α P и любых элементов x, y L имеет место равенство α(x+y)=αx+αy (дистрибутивный закон относительно суммы элементов из L).
Чаще всего в качестве поля P рассматривают поле действительных чисел R (и тогда L называют вещественным векторным пространством, или просто векторным пространством), или поле С комплексных чисел (в этом случае L – комплексное векторное пространство). Независимо от природы линейного пространства всякий его элемент называют вектором.
Приведем примеры линейных пространств. Если для множеств не указаны в тексте правила сложения элементов и умножения элементов на число, то их следует задавать так, как это было сделано в изучаемых ранее разделах курсов «Алгебра» и «Аналитическая геометрия», где эти множества были определены и изучены.
Пример 1. Является ли множество 
всех векторов в трёхмерном пространстве действительным линейным пространством?
Если векторы 
, 
, то вектор суммы 
, определён для взятых и однозначно.
Если 
– действительное число, вектор , то 
. Таким образом, требования замкнутости операций сложения элементов из множества и умножения элементов из множества на действительное число из поля Р определения линейного пространства для множества выполняются.
Выполнение всех аксиом, кроме 5, было установлено в курсе «Аналитическая геометрия». Рассмотрим вектор 
. Согласно определению умножения вектора на число, вектор сонаправлен с вектором . Его длина равна длине вектора . Следовательно, векторы 
и равны, т. е. =, следовательно, аксиома 5 имеет место для векторов множества .
Итак, для множества и поля 
действительных чисел выполняются все требования определения линейного пространства, поэтому является действительным линейным пространством.
Пример 2. Пусть 
– множество всех упорядоченных систем 
произвольных действительных чисел 
, т. е 
Два элемента 
, 
из называются равными, если 
. Числа 
называют компонентами 
. Суммой элементов х и у назовем элемент 
и обозначим 
. Произведением действительного числа на элемент назовем элемент 
и обозначим его 
. Покажем, что является действительным линейным пространством относительно введённых операций.
Согласно условию примера требования замкнутости операций сложения элементов множества и умножения элементов множества на действительное число из поля Р в определении линейного пространства для множества выполняются.
Осталось проверить выполнение 8 аксиом.
1. Пусть 
, 
. Тогда = и 
=
. Так как сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности поэтому 
, значит 
.
2. Выполнение второй аксиомы проверяется аналогично с использованием ассоциативного закона для сложения действительных чисел.
3. Роль нулевого элемента в играет элемент 0=(0. 0). Действительно, 
4. Для элемента противоположным элементом является 
, так как 
5. Поскольку 
, то 
.
6. Если 
– любые действительные числа, то
7. Пусть – любые действительные числа, тогда
Следовательно, 
.
8. Если 
– любое действительное число, то 
т. е. 
.
Таким образом, для множества и поля действительных чисел выполняются все требования определения, и поэтому является линейным действительным пространством. называют арифметическим n-мерным пространством.
Пример 3. Является ли действительным линейным пространством множество всех векторов из , компоненты которых удовлетворяют условию 
, если операции сложения векторов и умножения векторов на число определить так же, как и в примере 2?
Пусть , – любые два вектора из . Тогда , 
, рассмотрим вектор =. Так как 
=2
, то вектор 
. Таким образом, для множества не выполняется требование замкнутости операции сложения элементов множества в определении линейного пространства, поэтому это множество не является линейным пространством.
Пример 4. Проверить, является ли линейным действительным пространством множество M всех векторов плоскости, образующих с данным ненулевым вектором 
угол 
, 0≤≤
.
M образует угол φ с вектором , а вектор – угол 
. Множество M не является линейным пространством, так как 
M.
Пример 5. В множестве R+ положительных действительных чисел определены следующие операции:
а) 
;
б) 
.
Показать, что множество R+ относительно указанных операций является действительным линейным пространством.
Решение. В условии задачи определены операции сложения элементов множества R+ и умножения элементов множества R+ на число из поля Р. Проверим выполнение 8 аксиом:
1. , 
. Так как xy=yx, поскольку x, y R+, то 
.
2. 
, 
. Но (xy)z=x(yz), поскольку x, y, z R+, поэтому 
.
3. 
, т. е. нулевым элементом является число 1.
4. 
, поэтому число 
играет роль противоположного элемента для . Так как R+не содержит числа 0, то всякий элемент из R имеет противоположный ему элемент.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
Таким образом, все требования определения линейного пространства для R+ выполнены, и поэтому R+ является действительным линейным пространством.
1-4. Проверить, является ли следующее множество векторов плоскости действительным линейным пространством:
1. множество R всех векторов плоскости;
2. множество S всех радиус-векторов точек первой четверти прямоугольной декартовой системы координат;
3. множество T всех радиус-векторов точек плоскости, составляющих данную прямую;
4. множество всех векторов плоскости за исключением векторов, параллельных данной прямой.
5. Доказать, что множество 
матриц порядка с действительными элементами составляет действительное линейное пространство.
6. Является ли множество 
симметрических матриц порядка c действительными элементами действительным линейным пространством?
7. Является ли множество 
всех матриц размера 
c элементами из R относительно обычных операций сложения матриц и умножения матриц на число действительным линейным пространством?
8. Является ли множество чисел из отрезка [0;1] числовой прямой относительно обычных операций сложения и умножения чисел линейным пространством над полем R?
9. Является ли множество векторов плоскости (пространства) с рациональными координатами относительно обычных операций сложения и умножения векторов на число линейным пространством над полем R?
10. Является ли множество монотонно возрастающих на числовой оси функций относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством над полем R?
11. Является ли линейным пространством над полем Q рациональных чисел множество чисел вида a+b, где a и b – рациональные числа?
12. Является ли линейным пространством над R множество отрицательных действительных чисел?
13. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx?
14. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx+b, где b
0?
15. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени ≤ n (включая нулевой многочлен) с действительными коэффициентами?
16. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени n с действительными коэффициентами?
