Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей.
Эта статья посвящена параллельным плоскостям и параллельности плоскостей. Сначала дано определение параллельных плоскостей, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации. Далее приведен признак параллельности плоскостей и теоремы, позволяющие доказывать параллельность плоскостей. В заключении рассмотрены необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, а также подробно разобраны решения примеров.
Навигация по странице.
Параллельные плоскости – основные сведения.
Дадим определение параллельных плоскостей.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Для обозначения параллельности используется символ «
». Таким образом, если плоскости 
и 
параллельны, то можно кратко записать .
Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.
Отметим, что если плоскости и параллельны, то также можно сказать, что плоскость параллельна плоскости , или плоскость параллельна плоскости .
Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.
При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
На практике для доказательства параллельности плоскостей также часто используются две следующие теоремы.
Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней.
Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.
На основании приведенных теорем и признака параллельности плоскостей доказывается параллельность любых двух плоскостей.
Теперь подробно остановимся на необходимом и достаточном условии параллельности двух плоскостей и , которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида 
, а плоскости — вида 
. (Если плоскости заданы уравнениями плоскостей в отрезках, то от них легко перейти к общим уравнениям плоскостей.)
Для параллельности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида 
не имела решений (была несовместна).
Если плоскости и параллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений не имеет решений.
Если система линейных уравнений не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости и не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.
Рассмотрим применение необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.
Параллельны ли плоскости 
и 
?
Составим систему уравнений из заданных уравнений плоскостей. Она имеет вид 
. Выясним, имеет ли эта система линейных уравнений решения (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).
Ранг матрицы 
равен одному, так как все миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 
равен двум, так как минор 
отличен от нуля. Итак, ранг основной матрицы системы уравнений меньше ранга расширенной матрицы системы. При этом из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений не имеет решений. Этим доказано, что плоскости и параллельны.
Заметим, что использование метода Гаусса для решения системы линейных уравнений привело бы нас к этому же результату.
Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей можно сформулировать иначе.
Для параллельности двух несовпадающих плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.
Доказательство этого условия основано на определении нормального вектора плоскости.
Пусть 
и 
— нормальные векторы плоскостей и соответственно. Условие коллинеарности векторов и записывается как 
, где t – некоторое действительное число.
Известно, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость проходит через три точки 
, а плоскость определяется уравнением 
. Докажите параллельность плоскостей и .
Сначала убедимся, что плоскости и не совпадают. Это действительно так, так как координаты точки А не удовлетворяют уравнению плоскости .
Теперь найдем координаты нормальных векторов 
и 
плоскостей и и проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .
В качестве вектора можно взять векторное произведение векторов 
и 
. Векторы и имеют координаты 
и 
соответственно (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца). Тогда 
.
Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости приведем ее уравнение к общему уравнению плоскости: 
. Теперь видно, что 
.
Проверим выполнение условия коллинеарности векторов 
и .
Так как 
, то векторы и связаны равенством 
, то есть, они коллинеарны.
Итак, плоскости и не совпадают, а их нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости и параллельны.
Замечание: разобранное необходимое и достаточное условие не очень удобно для доказательства параллельности плоскостей, так как отдельно приходится доказывать, что плоскости не совпадают.
Метод координат
Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:
Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны \(4\)):
С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.
Координату \(x\) точки \(С\) можно получить, опустив перпендикуляр \(CE\) из \(т.С\) на ось \(OX\). (см. Рис. 2). Получится \(т.E\), указывающая на искомую координату по \(x\) – 2.
Координаты вектора
Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.
На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.
Скрещивающиеся прямые
Уравнение плоскости
Если найти \(A,B,C,D\), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.
Например, пусть даны три точки:
Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:
$$\begin
Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: \(A,B,C,D\). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем \(D\) приравнять \(1\), если же проходит, то \(D=0\). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на \(D\), от этого уравнение не изменится, но вместо \(D\) будет стоять \(1\), а остальные коэффициенты будут в \(D\) раз меньше.
Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.
Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).
Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.
Решим задачу полностью методом координат.
Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).
Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей
В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.
Параллельные плоскости: основные сведения
Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.
На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.
Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности
В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.
Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.
Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.
Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.
На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.
Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).
Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.
Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.
Решение
Запишем систему уравнений из заданных условий:
Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.
Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.
Ответ: заданные плоскости параллельны.
Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.
Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.
Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.
n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2
Решение
Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:
Ответ: плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.
Геометрия. 10 класс
Параллельность плоскостей
Параллельность плоскостей
Необходимо запомнить
Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Свойства параллельных плоскостей.
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Параллельность плоскостей
Разберём и докажем теорему.
Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.
Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.
В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.
Докажем методом от противного, что β – единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.
Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.
Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β – единственна. Теорема доказана.
