Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
теория по математике 📈 планиметрия
Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.
На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.
Свойства прямоугольного треугольника
На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:
Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:
Теорема Пифагора
Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Египетский треугольник
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.
Пифагоровы тройки
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где 
– катеты, 
– гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь 
прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота 
прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус 
описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус 
вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
Определение
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.
Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.
Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике:
Формулы:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
Теорема Пифагора
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Пошаговое доказательство:
a 2 + b 2 = c * HB + c * AH
a 2 + b 2 = c * (HB + AH)
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?
значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136
Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Давайте рассмотрим виды треугольников. Существуют следующие виды:
Обратите внимание, на рисунке изображён треугольник АВС с прямым углом С, в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой большой стороной.
Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠А – прямой, ∠В = 30° и, значит, ∠С = 60°.
Докажем, что FC = ½ BC
Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим треугольник ВСD, в котором ∠В = ∠D = 60°, поэтому DC = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но АС = ½ DC. Следовательно, АС = ½BC, что и требовалось доказать.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ∠АВС = 30°.
Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, а в равностороннем треугольнике все углы равны, следовательно, 180° : 3= 60° – каждый угол равностороннего треугольника). В частности, ∠DВС = 60°. Но ∠DВС= 2∠АВС. Следовательно, ∠АВС = 30°, что и требовалось доказать.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:
если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Далее из второго признака равенства треугольников следует:
если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.
Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.
Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Дано: ∆АВС и ∆НМХ, ∠С = ∠Х = 90°, АВ = НМ, ∠А = ∠Н.
Доказать: ∆АВС и ∆НМХ
Доказательство. Из первого свойства прямоугольных треугольников мы можем сделать вывод, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Теорема доказана.
Разбор заданий тренировочного модуля.
№ 1.Найдите острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
Объяснение. Мы знаем, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, можно вычислить градусную меру острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника: 90° : 2= 45°.
Ответ: острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°.
№ 2.Опираясь на рисунок, укажите, по какому признаку равны треугольники.
Объяснение. На рисунке указано равенство катетов МС и ВС, углы МСН и ВСА вертикальны, значит, они равны. Следовательно, треугольники АВС и НСМ равны по катету и прилежащему к нему острому углу, подходит ответ 1.
Ответ: 1. по катету и прилежащему к нему острому углу.
