Когда 3 точки лежат на одной прямой
Очень часто при решения домашней работы возникает вопрос: когда 3 точки лежат на одной прямой, ответ очень прост и он лежит в основе геометрии.
Осуществить проверку того, что три точки лежат на одной прямой можно через составления уравнения, рассматриваемой прямой, которая проходит через две наугад выбранные точки из этих трех. И проверки того, что этому уравнению удовлетворяют координаты оставшейся из этих трех точек.
Есть разные виды уравнения прямой. Воспользуемся одним из простейших способов и рассмотрим его для конкретно заданных точек.
Это сделаем лишь для того, чтобы не решать поставленную задачу в общем виде, а чтобы дать ответ на вопрос лежат ли 3 именно эти точки с этими координатами на одной прямой. Сформулируем задачу: Необходимо проверить лежат ли точки A(-2;1), Б(0;3), В (5;-7) на одной прямой.
Решим поставленную задачу
Как известно, через любые две точки можно провести прямую, причем единственную. Вот и проведем мысленно эту прямую. Допустим, прямую АБ. Значит, решение нашей задачи свелось к тому, что нужно проверить: принадлежит ли точка В прямой АБ. Если окажется, что точка В принадлежит прямой АБ, то все точки из условия будут лежать на одной прямой. Если мы выясним, что точка В не принадлежит прямой АБ, то можно будет утверждать, что точки А, Б и В на одной прямой не лежат. Составим уравнение прямой АБ как уравнение прямой проходящей через две точки:
После преобразования получим:
Как видим, не получили верное числовое равенство. Значит в этом случае точки А, Б, В не лежат на одной прямой.
Пример, когда 3 точки лежат на одной прямой можно легко подобрать для этой задачи. Всего лишь точка В должна иметь координаты (0;3) или (-7;-4)
Как доказать что три точки лежат на одной прямой
Если три точки A, B и C лежат на одной прямой, то треугольник ABC обратится в отрезок прямой, а потому его площадь должна быть равна нулю. Полагая в формуле
S = 0, получим условие, при котором три точки лежат на одной прямой
В более удобной форме условие, при котором три точки лежат на одной прямой, можно записать так:
(1)
Подставляя сюда координаты данных точек, получим, что левая часть (1) будет равна
Требование (1) выполнено:
и, значит, три данные точки лежат на одной прямой.
Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?
Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?
Теорема Менелая:
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник причем – точка ее пересечения со стороной – точка ее пересечения со стороной и – точка ее пересечения с продолжением стороны
Тогда выполняется равенство:
Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки и причем на стороне должна лежать точка на стороне – точка и на продолжении – точка
Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник от точки к точкам и и затем возвращаемся в точку Но по дороге нам встречаются точки и – их тоже включаем в формулу.
В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник Предположим, что точка лежит на стороне точка лежит на стороне а точка лежит на продолжении стороны причём про эти точки известно, что
Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек и выполняется равенство: – то это означает, что точка лежит на отрезке Или, если нам удается доказать, что угол – развернутый, это и будет означать, что точки и лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае и – лежат на одной прямой.
Теорема Чевы
Пусть точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника причем отрезки и пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:
Обратная теорема Чевы:
Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах и треугольника причём
Тогда отрезки и пересекаются в одной точке.
Как применяются теоремы Менелая и Чевы?
Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.
На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно, причём Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки и перпендикулярны,
Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:
Это значит, что по двум углам и то есть
Прямая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны
По теореме Менелая,
по углу и двум сторонам, отсюда
— параллелограмм по определению.
Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.
Докажем, что — параллелограмм.
Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,
Это значит, что по углу и двум сторонам и
Получим, что в четырёхугольнике :
Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.
Поскольку получим, что — прямоугольный.
Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём
Тогда — параллелограмм (по признаку паралелограмма)
по теореме Пифагора из
Найдём из по теореме косинусов.
Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.
На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом построены во внешнюю сторону квадраты и Докажите, что:
а) прямые и отсекают от катетов треугольника равные отрезки
б) прямые и высота треугольника проведённая из вершины пересекаются в одной точке.
Пункт (а) доказывается легко.
Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:
Запишем, чему равны длины отрезков Для длин и воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Проверим выполнение равенства
Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и пересекаются в одной точке.
А вот как решается эта задача без теоремы Чевы, с помощью векторов:
Математик Менелай Александрийский жил в I веке до нашей эры (Древний Рим).
Математик и инженер Джованни Чева – XVII век, Италия.
Как видим, теоремы Менелая и Чевы оказываются полезны в некоторых задачах. Очень хорошо, если вы знаете эти теоремы. Однако если они для вас непривычны, можно применить простой школьный прием – пары подобных треугольников.
Это полезно
В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.
Высшая математика. Шпаргалка
Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.
Оглавление
Приведённый ознакомительный фрагмент книги Высшая математика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.
2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой
3. Пусть имеются точка М (х1, у1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х — х1) + В(у — у1) = 0.
Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х1, у1), описывается уравнением А (у — у1) — В(х — х1) = 0.
4. Пусть даны две точки А1 (х1, у1), А2 (х2, у2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:
1) точки А1, А2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах1 + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) имеют одинаковые знаки;
3) одна или обе точки А1, А2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах1 + + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) принимают нулевое значение.
5. Центральный пучок — это множество прямых, проходящих через одну точку М (х1, у1), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у — у1 = к (х — х1) (параметр пучка к для каждой прямой свой).
Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y — y1) = m(x — x1), где l, m — не равные одновременно нулю произвольные числа.
6. Пусть даны точка М (х1, у1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:
