Введение в комлексные числа
Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.
А школьники могут что-то новое узнать 😉
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.
Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как
Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство
x называется действительной частью, y — мнимой.
Это алгебраическая форма записи комплексного числа.
Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:
С введением, пожалуй, все.
Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.
У нас есть два таких комплексных числа:
Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:
Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число
Умножение выполняется вот так:
Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:
Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:
Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.
UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь 😉
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Комплексные числа
 Алгебраическая форма записи комплексных чисел |
| Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
| Комплексно сопряженные числа |
| Модуль комплексного числа |
| Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
| Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости |
| Аргумент комплексного числа |
| Тригонометрическая форма записи комплексного числа |
| Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа |
| Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме |
| Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа |
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Комплексно сопряженные числа
|  |
|  |
|  |
|  |
|  |
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
|  |
|  |
|  |
|  |
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Тогда оказывается справедливым равенство:
 | (3) |
 | (4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
| Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
| Положительная вещественная полуось |  |  |  | |
| Положительная мнимая полуось |  |  |  | |
| Второй квадрант |  |  |  | |
| Отрицательная вещественная полуось | Положительная вещественная полуось | |||
| Знаки x и y | ||||
| Главное значение аргумента | 0 | |||
| Аргумент | φ = 2kπ | |||
| Примеры |  |
значение
аргумента
значение
аргумента
значение
аргумента
x z
квадрант
x z
мнимая
полуось
y z
квадрант
Положительная вещественная полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Положительная мнимая полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Отрицательная вещественная полуось
Отрицательная мнимая полуось
x z = x + i y может быть записано в виде
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел 
и 
записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть 
— произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
следствием которых являются равенства
 | (9) |
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
 | (10) |
то по формуле (10) получаем:
Функция КОМПЛЕКСН
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование комплексного в Microsoft Excel.
Описание
Преобразует коэффициенты при вещественной и мнимой частях комплексного числа в комплексное число в форме x + yi или x + yj.
Синтаксис
Аргументы функции КОМПЛЕКСН описаны ниже.
Действительная_часть — обязательный аргумент. Действительная часть комплексного числа.
Мнимая_часть — обязательный аргумент. Мнимая часть комплексного числа.
Мнимая_единица — необязательный аргумент. Обозначение мнимой единицы в комплексном числе. Если аргумент «мнимая_единица» опущен, используется суффикс «i».
Примечание: Все функции с комплексными числами принимают суффиксы «i» и «j», но не «I» и «J». Использование верхнего регистра результатов в #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!. Для всех функций, которые принимают два или более сложных числа, требуется, чтобы все суффиксы совпадали.
Замечания
Если real_num не является числом, то #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если i_num не является числом, то #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если суффикс не является ни «i», ни «j», то #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 3 и 4 соответственно
Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 3 и 4 соответственно и мнимой единицей j
Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 0 и 1 соответственно
Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 1 и 0 соответственно
Формула Эйлера и приближенные методы
Илья Бирман в заметке о числах π и e написал об их связи со мнимой единицей:
Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:
Почему число 2,7182818284590 в комплексной степени 3,1415926535i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
Экспоненциальная функция
$$\begin
Чем больше n, тем меньше аргумент экспоненты x/n и тем точнее работает эта формула.
Комплексные числа
$$\begin
Представление в виде вектора удобно, когда речь идет о сумме комплексных чисел. Тогда вектор, соответствующий сумме комплексных чисел, равен сумме векторов, соответствующих каждому слагаемому. К сожалению, у произведения комплексных чисел нет такой наглядной картины. Тем не менее, чтобы сформулировать относительно простое правило для представления произведения в виде вектора, перейдем от декартовых координат к полярным координатам r и α. Первое число задает длину вектора и называется модулем комплексного числа, а второе есть угол между вектором и осью абсцисс и называется аргументом. Ясно, что каждая пара этих чисел, r и α, тоже однозначно задает свой вектор и свое комплексное число.
Теперь можно сформулировать правило умножения в терминах длины вектора и его направления (оно выведено в дополнении к заметке). Длина вектора произведения равна произведению длин векторов сомножителей, а аргумент (угол между вектором и осью абсцисс) равен сумме аргументов. Я изобразил это правило на рисунке. Здесь синий вектор равен произведению зеленого и красного.
Возведение в комплексную степень
Чтобы всё же определить возведение в комплексную степень, нужно привлечь дополнительные принципы или соображения по отношению к правилам арифметики. В качестве такого принципа я предлагаю считать разложение e x ≈ 1 + x около нуля справедливым не только для действительных x, но и для комплексных.
(1 + iπ/10) 1 = 1 + 0,3142i
(1 + iπ/10) 2 = 1 + 2·0,3142i − 0,3142 2 = 0,9013 + 0,6283i
(1 + iπ/10) 3 = 0,7039 + 0,9115i
(1 + iπ/10) 4 = 0,4176 + 1,1326i
(1 + iπ/10) 5 = 0,0617 + 1,2638i
(1 + iπ/10) 6 = −0,3352 + 1,2832i
(1 + iπ/10) 7 = −0,7384 + 1,1779i
(1 + iπ/10) 8 = −1,1085 + 0,9459i
(1 + iπ/10) 9 = −1,4056 + 0,5976i
(1 + iπ/10) 10 = −1,5934 + 0,1561i
Вот эти числа на рисунке:
В соответствии с правилом умножения, аргумент растет как арифметическая прогрессия, а модуль — как геометрическая. К сожалению, из-за небольшого n наша формула слишком неточная, и мы пришли к числу вместо ожидаемого −1. Но зато мы понимаем процедуру, которая при неограниченном росте n даст нужное значение.
Действительно, чем меньше число iπ/n, тем с большей точностью отрезок касательной iπ/n приближает дугу окружности, тем ближе к π/n угол между соседними векторами и тем меньше отклонение длины векторов от 1. В пределе мы получим точки окружности единичного радиуса, а само число попадет в −1. Прямые вычисления это подтверждают:
(1 + iπ/100) 100 = −1,0506 + 0,001085i,
(1 + iπ/1000) 1000 = −1,004946 + 0,00001039i,
(1 + iπ/10000) 10000 = −1,0004936 + 1,03·10 −7 i.
Дополнение 1. Привлечение математической строгости
Я на простых примерах рассказал о том, как ведут себя числа и функции. Математики обычно не используют изложенный выше способ рассуждений, хотя его можно сделать вполне строгим с помощью понятий предела и «о малого».
В более продвинутом курсе теории функций комплексной переменной вводится понятие аналитической функции. Это такая функция f, которая раскладывается в ряд Тейлора, который сходится к самой функции f. (Для того чтобы комплексная функция была аналитической в какой-то области, достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой области. Требование дифференцируемости в комплексном случае гораздо сильнее, чем в действительном. Комплексная дифференцируемая функция в области бесконечно дифференцируема и аналитична на ней.) Оказывается, что аналитическую функцию, определенную для действительных чисел, можно единственным образом продолжить в область комплексных чисел, чтобы функция осталась аналитической. В этом и состоит обоснование выбора определения комплексной экспоненты через ряды: мы специально выбираем экспоненту в виде ряда, чтобы получилась аналитическая функция.
Дополнение 2. Тригонометрическая форма и умножение комплексных чисел
$$\begin
Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме:
Вспоминая тригонометрические формулы, видим, что в круглых скобках получились выражения для косинуса и синуса суммы углов. Окончательный ответ имеет вид
Таким образом, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения есть сумма произведений сомножителей.
Дополнение 3. О приближенных методах вычислений
В физике постоянно используются приближенные методы, особенно разложение в ряд Тейлора до первого (изредка до второго) слагаемого. Дело в том, что аналитическое решение в виде формулы можно получить разве что в простейших задачах. Численно, на компьютере, тоже не всякая задача решается. Поэтому часто в ходе преобразований приходится что-нибудь раскладывать и чем-нибудь пренебрегать.
Иногда приближенные методы удается использовать и в арифметических задачах. Прекрасный пример встречается в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман»:
Тут в ресторан вошел японец. Я уже раньше видел его: он бродил по городу, пытаясь продать счеты. Он начал разговаривать с официантами и бросил им вызов, заявив, что может складывать числа быстрее, чем любой из них.
Официанты не хотели потерять лицо, поэтому сказали: «Да, да, конечно. А почему бы Вам не пойти к тому посетителю и не устроить соревнование с ним?»
Этот человек подошел ко мне. Я попытался сопротивляться: «Я плохо говорю на португальском!»
Официанты засмеялись. «С числами это не имеет значения», — сказали они.
Они принесли мне карандаш и бумагу.
Человек попросил официанта назвать несколько чисел, которые нужно сложить. Он разбил меня наголову, потому что пока я писал числа, он уже складывал их.
Тогда я предложил, чтобы официант написал два одинаковых списка чисел и отдал их нам одновременно. Разница оказалась небольшой. Он опять выиграл у меня приличное время.
Однако японец вошел в раж: он хотел показать, какой он умный. «Multiplicao!» — сказал он.
Кто-то написал задачу. Он снова выиграл у меня, хотя и не так много, потому что я довольно прилично умею умножать.
А потом этот человек сделал ошибку: он предложил деление. Он не понимал одного: чем сложнее задача, тем у меня больше шансов победить.
Нам дали длинную задачу на деление. Ничья.
Это весьма обеспокоило японца, потому что он явно прекрасно умел выполнять арифметические операции с помощью счет, а тут его почти победил какой-то посетитель ресторана.
«Raios cubicos!» — мстительно говорит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни с помощью арифметики! Трудно найти более сложную фундаментальную задачу в арифметике. Должно быть, это был его конек в упражнениях со счетами.
Он пишет на бумаге число — любое большое число — я до сих пор его помню: 1729,03. Он начинает работать с этим числом и при этом что-то бормочет и ворчит: «Бу-бу-бу-хм-гм-бу-бу», — он трудится как демон! Он просто погружается в этот кубический корень!
Я же тем временем просто сижу на своем месте.
Один из официантов говорит: «Что Вы делаете?»
Я указываю на голову. «Думаю!» — говорю я. Затем пишу на бумаге 12. Еще через какое-то время — 12,002.
Человек со счетами вытирает со лба пот и говорит: «Двенадцать!»
«О, нет! — возражаю я. — Больше цифр! Больше цифр!» Я знаю, что, когда с помощью арифметики берешь кубический корень, то каждая последующая цифра требует большего труда, чем предыдущая. Это работа не из легких.
Он опять уходит в работу и при этом бормочет: «Уф-фыр-хм-уф-хм-гм. ». Я же добавляю еще две цифры. Наконец, он поднимает голову и говорит: «12,0!»
Официанты просто светятся от счастья. Они говорят японцу: «Смотрите! Он делает это в уме, а Вам нужны счеты! И цифр у него больше!»
Он был абсолютно измотан и ушел, побежденный и униженный. Официанты поздравили друг друга.
Каким же образом посетитель выиграл у счетов? Число было 1729,03. Я случайно знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов, так что было ясно, что ответ немногим больше 12. Излишек же, равный 1,03, — это всего лишь одна часть из почти 2000, а во время курса исчисления я запомнил, что для маленьких дробей излишек кубического корня равен одной трети излишка числа. Так что мне пришлось лишь найти дробь 1/1728, затем умножить полученный результат на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Вот так мне удалось получить целую кучу цифр.
Несколько недель спустя этот человек вошел в бар того отеля, в котором я остановился. Он узнал меня и подошел. «Скажите мне, — спросил он, — как Вам удалось так быстро решить задачу с кубическим корнем?»
Я начал объяснять, что использовал приближенный метод, и мне достаточно было определить процент ошибки. «Допустим, Вы дали мне число 28. Кубический корень из 27 равен 3. »
Он берет счеты: жжжжжжжжжжжжжжжж — «Да», — соглашается он.
И тут до меня доходит: он не знает чисел. Когда у тебя есть счеты, не нужно запоминать множество арифметических комбинаций; нужно просто научится щелкать костяшками вверх-вниз. Нет необходимости запоминать, что 9 + 7 = 16; ты просто знаешь, что когда прибавляешь 9, то нужно передвинуть десятичную костяшку вверх, а единичную — вниз. Поэтому основные арифметические действия мы выполняем медленнее, зато мы знаем числа.
Более того, сама идея о приближенном методе вычисления была за пределами его понимания, несмотря на то, что зачастую невозможно найти метод точного вычисления кубического корня. Поэтому мне так и не удалось научить его брать кубический корень или объяснить, как мне повезло, что он выбрал число 1729,03.
В этом приближенном ответе благодаря малости числа 1,03/1728 по сравнению с единицей все цифры точные, расхождение с правильным ответом начинается в шестом знаке после запятой. Самая сложная операция в приведенной цепочке — вычисление дроби 1,03/432.
