Признаки делимости
Признаки делимости чисел — это особенности чисел, позволяющие определить, не выполняя деления, кратно число делителю или нет.
Чётные и нечётные числа
Чётные числа — это числа которые делятся на 2. Нечётные числа — это числа, которые на два не делятся.
Число нуль относится к чётным числам.
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) — чётная.
Признак делимости на 3. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.
Признаки делимости на 5. На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.
Признак делимости на 9. На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.
Признаки делимости чисел
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.
Как узнать, делится ли число без остатка на 7 и 8?
Когда я учился в школе и решал задачки по математике, очень часто хотелось узнать, делится одно число на другое (предполагается, что делитель меньше 10) или нет без остатка. Обычно при решении таких примеров учителя запрещали пользоваться калькулятором, а вычисления в «столбик» были относительно длительны. Я нередко ошибался и получал несуразные результаты. А знание того, что число заведомо разделится без остатка, было бы здесь совсем не лишним.
Потом, не помню в каком классе, нам рассказали о некоторых признаках делимости. Давайте вместе вспомним их. (Предупреждение: я не являюсь ни учителем математики, ни аспирантом математических наук, поэтому буду излагать не научно правильно, а как умею. Учителям математики просьба — не придираться по этому поводу).
Число без остатка делится на 2, если делится на 2 его последняя цифра. То есть если последняя цифра — четная. Объясняется это просто. Число 10 — четное. Сколько десятков к четной цифре ни добавляй, оно все равно останется четным.
По-другому с тройкой. Число без остатка делится на 3, если делится на 3 сумма всех его цифр. Например, 327. Сумма его цифр: 3+2+7=12. 12 делится на 3 без остатка, значит, и число 327 делится на 3 без остатка. (327: 3 = 109).
Далее. Число без остатка делится на 4, если делится на 4 число из двух последних его цифр. Число 100 делится без остатка на 4, и, следовательно, сколько сотен ни добавляй, оно все равно будет делиться на 4. Если двухзначное число выходит за таблицу умножения, то от него следует отнять 40 и узнать, делится ли полученное число на 4.
Например, 56. Вы, допустим, затрудняетесь сказать, делится ли оно на 4. Тогда от его нужно отнять 40. Получается 16, а оно делится на 4. Следовательно, и 56 делится на 4. А также 156, 356, 756, 1556, 3756 — все они будут делиться на 4. Значение имеют лишь две последние цифры числа.
Очень простой признак делимости на 5. Число без остатка делится на 5, если оно заканчивается цифрой 5, либо цифрой 0. Здесь, я думаю, комментарии не требуются.
Про признак делимости на 6 в школе не рассказывают. Однако любой ученик с более-менее живым умом легко до него додумается. Поскольку 6 = 2×3, то для того, чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться и на 2, и на 3. А признаки делимости на эти числа нам уже известны. Число без остатка делится на 6, если оно четное и если его сумма цифр делится на 3.
Важно! Я в школьные годы очень часто делал ошибки, думая, что если сумма цифр числа делится на 6, то и само число будет делиться на 6. Это не так. Например, 123. Сумма его чисел равна 6. Но оно не делится на 6, так как является нечетным (123: 6 = 20,5).
Ну и еще в школе рассказывают про признак делимости на 9. Он полностью аналогичен признаку делимости на 3. Число без остатка делится на 9, если делится на 9 сумма всех его цифр.
Как видим, в этом списке нет признаков делимости на 7 и 8. Недавно я, пораскинув мозгами на досуге, сумел найти эти признаки.
Начнем с числа 8 — это проще. Число 100 не делится без остатка на 8 (100: 8 = 12,5). И, следовательно, такой финт, как с четверкой, не пройдет. Например, 332. Число из двух последних цифр делится на 8, но 332: 8 = 41,5. Однако на 8 делится без остатка число 1000 (1000: 8 = 125). Таким образом, если трехзначное число, например 256, делится на 8, то к нему можно прибавить тысячу (которая тоже делится на 8), и оно по-прежнему будет делиться на 8.
256: 8 = 32.
1256: 8 = 157.
Далее: 2256, 5256, 15256, 27256 — все они будут делиться на 8. Таким образом, число без остатка делится на 8, если делится на 8 число из трех последних его цифр.
Здесь, наверно, у многих возникнет ехидная усмешка. Мол, спасибо, ты нам сильно помог. Как же мы узнаем, делится ли на 8 трехзначное число? Не волнуйтесь, есть способ.
Поскольку 8 = 2×4, то чтобы число делилось на 8, требуется, чтобы оно делилось и на 4. Это условие необходимое, но не достаточное. Далее можно поступить по аналогии с тысячей. Мы уже выяснили, что 100 не делится на 8 без остатка. Однако число 200 делится — 200: 8 = 25. Таким образом, если в трехзначном числе число из двух последних цифр делится на 8, а первая цифра четная, то и само трехзначное число разделится на 8. Если же первая цифра нечетная, то число из двух последних цифр должно делиться на 4, но не делиться на 8.
Подытожим все сказанное. Число без остатка делится на 8, если делится на 8 трехзначное число из трех последних цифр числа. Трехзначное число без остатка делится на 8, если:
1) его первая цифра четная, а число из двух последних цифр делится на 8;
2) его первая цифра нечетная, а число из двух последних цифр делится на 4, но не делится на 8.
Звучит это, возможно, грозно, однако ничего сложного здесь нет. Потренируйтесь, и вы быстро научитесь.
Значит, чтобы узнать, что число делится на 7, нужно от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами исходного, отнять число тысяч. Если полученное число делится на 7, то и исходное будет делиться на 7. Например, 3752. Здесь трехзначное число, образованное последними цифрами — 752, число тысяч — 3. Вычитаем: 752 — 3 = 749. Таким образом, задача свелась к отысканию делимости трехзначного числа 749.
Здесь у многих опять возникнет ехидная усмешка. Мол, как же узнать, делится ли это число на 7? Сразу скажу, способ есть. Подробно расписывать не буду, предлагаю читателям самим додуматься. Скажу лишь основную предпосылку: на 7 без остатка делится число 105 (105: 7 = 15).
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 7, нужно число сотен умножить на 5 и полученное число отнять от двухзначного числа, образованного двумя последними цифрами. Так в числе 749 число сотен — 7; 7×5 = 35; 49 — 35 = 14, а 14 делится на семь. Следовательно, и 749, и 3752 делятся на 7 без остатка.
749: 7 = 107.
3752: 7 = 536.
Сформулируем признак делимости на 7. Число больше трехзначного без остатка делится на 7, если делится на 7 трехзначное число, равное разности между числом, образованным тремя последними цифрами исходного и количеством тысяч в числе. Трехзначное число без остатка делится на 7, если делится на 7 число, равное разности между числом, образованным двумя последними цифрами исходного и количеством сотен в числе, умноженным на 5.
Формулировка довольно сложная, поэтому разберем пример. Возьмем число 17 969. На первом этапе надо от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами (969), отнять количество тысяч в числе (17). Получим 969 — 17 = 952. Таким образом, наша задача свелась к отысканию делимости на 7 этого числа. В этом состоит второй этап. Для этого нужно от числа, образованного двумя последними цифрами (52), отнять число сотен (9), умноженное на 5 (9×5 = 45); 52 — 45 =7. Семь без остатка делится на 7, значит, делятся на 7 и 952 (952: 7 = 136), и 17 969 (17 969: 7 = 2 567).
На этом у меня все. Если есть вопросы, задавайте.
Признаки делимости чисел
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.
Примеры:
Нахождение всех делителей числа, число делителей числа
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Как найти все делители числа
Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.
Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.
Для этого нужно выполнить следующие действия:
Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.
Решение
Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:
Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.
Решение
Начнем с разложения данного числа на простые множители.
567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7
| t 1 | t 2 | 3 t 1 · 7 t 2 |
| 0 | 0 | 3 0 · 7 0 = 1 |
| 0 | 1 | 3 0 · 7 1 = 7 |
| 1 | 0 | 3 1 · 7 0 = 3 |
| 1 | 1 | 3 1 · 7 1 = 21 |
| 2 | 0 | 3 2 · 7 0 = 9 |
| 2 | 1 | 3 2 · 7 1 = 63 |
| 3 | 0 | 3 3 · 7 0 = 27 |
| 3 | 1 | 3 3 · 7 1 = 189 |
| 4 | 0 | 3 4 · 7 0 = 81 |
| 4 | 1 | 3 4 · 7 1 = 567 |
Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.
Решение
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 13 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 5 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 65 |
| 0 | 0 | 2 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 25 |
| 0 | 0 | 2 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 325 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 3 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 39 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 15 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 195 |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 75 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 975 |
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 26 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 10 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 130 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 50 |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 650 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 6 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 78 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 30 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 390 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 150 |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 1950 |
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 4 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 52 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 20 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 260 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 100 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 1300 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 12 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 156 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 60 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 780 |
| 2 | 1 | 2 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 300 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 3900 |
Как определить количество делителей конкретного числа
Решение
Раскладываем число на множители.
84 42 21 7 1 2 2 3 7
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Как вычислить общие делители нескольких чисел
Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.
Разберем пару таких задач.
Решение
Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:
Решение
Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.
Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.
