Площадь призмы
Призма – это многогранник, в основаниях которого два равных многоугольника, а боковые грани представляют собой параллелограммы.
Площадь боковой поверхности призмы также как и прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников, если призма прямая, сторонами которых являются сторона многоугольника в основании и высота, а их количество зависит от количества сторон в многоугольнике. Поэтому площадь боковой поверхности призмы вычисляется умножением периметра основания на высоту: Sб.п.=Ph=nah
Если в основании призмы лежит правильный треугольник, то в формуле соответственно вместо n мы напишем 3 : Sб.п.=3ah
Если в основании призмы лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат, то формула будет выглядеть так: Sб.п.=4ah
Формула для прямоугольника: Sб.п.=2(a+b)h
Формула для пятиугольника: Sб.п.=5ah
Формула для шестиугольника: Sб.п.=6ah
Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно традиционно добавить к площади боковой два основания: 
Для правильного треугольника в основании: 
Для прямоугольника в основании: Sп.п.=2ab+2bc+2ac
Для пятиугольника в основании: 
Для шестиугольника в основании: 
Призма
Призма
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
В основании лежит четырехугольник
1. Прямоугольник
2. Ромб
3. Трапеция
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим площади правильных многоугольников:
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.
Распишем формулу площади полной поверхности:
Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.
Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | $<1>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<√3>/<2>$ |
| $cosα$ | $<√3>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<1>/<2>$ |
| $tgα$ | $<√3>/<3>$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | $<√3>/<3>$ |
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.
Формула площади правильной призмы
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.
Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.
2. Площадь правильной треугольной призмы
Основание: равносторонний треугольник.
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
» data-order=»
» data-order=»3. Площадь правильной четырехугольной призмы
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .
4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
» data-order=»