Нахождение площади сектора круга
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.
Определение сектора круга
Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.
Формулы нахождения площади сектора круга
Через длину дуги и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).
Через угол сектора (в градусах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах ( α°) и деленной на 360°.
Через угол сектора (в радианах) и радиус круга
Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.
Примеры задач
Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.
Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:
Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:
Сегмент круга
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Сегмент
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Площадь сектора круга.
Сектор круга — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами.
Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.
Пусть дуга AB сектора AOB содержит n°.Очевидно, что площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна πR 2 /360:
Следовательно, площадь S сектора, дуга которого содержит n°, равна:
.
Поскольку πRn/180 выражает длину дуги AB, то обозначив ее через s, получим:
.
Вычислить площадь сегмента, зная радиус круга и число градусов, заключающееся в дуге сегмента.
Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.
Таким образом, вопрос сводится к вычислению высоты AС. Геометрически ее можно вычислить только в некоторых частных случаях следующим способом. Продолжив AС до пересечения с окружностью в точке D, мы увидим, что AС = СD и ∪AB = ∪BD. Значит, AС есть половина хорды, стягивающей дугу, вдвое большую дуги сегмента.
Отсюда заключаем, что если хорда, стягивающая двойную дугу, будет стороной такого правильного вписанного многоугольника, для которого мы знаем формулу его стороны, то высота AС определится геометрически.
Например, пусть дуга сегмента содержит 60°. Тогда AD есть сторона правильного вписанного треугольника. Значит, AС = 1/2R√3.
Дуга AB в этом случае равна 1 /6 окружности, т.е. 1 /3 πR.
Поэтому: площадь сегмента равна:
.
Выполняя инженерные расчёты при проектировании различных объектов строительства, создании роботов, автоматизированных систем, станков, машин, самолётов, ракет, современных средств вооружения часто бывает необходимо найти площадь сектора круга.
Геометрия помогает при этом решать задачи на нахождение центра тяжести (центр масс), вычислять его координаты для плоских пластин, имеющих, в частности, форму правильного многоугольника.
Измерять и вычислять величины считается базовым умением. Оно включено в первую часть профильной программы выпускного экзамена ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Сектор круга
Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:
Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.
Часть круга, заключённая между двумя радиусами.
Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.
Площадь сектора круга через радиус и длину дуги
Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?
Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:
Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.
После сокращения дроби получают формулу:
Примеры решения задач
Задача №1
Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.
Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:
Задача №2
Подставив известные данные в формулу, получим:
Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:
Площадь сектора круга через радиус и угол сектора
Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:
Задача №3
Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?
Центральный угол изображённого сектора равен
Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:
Также аналогичным образом решаются обратные задачи.
Площадь сектора круга через угол сектора в радианах
Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что
несложно получить искомую формулу:
Задача №4
Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?
Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:
Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:
С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:
Сегмент круга
Существует два подхода к определению понятия:
Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.
Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.
Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.
Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.
Площадь сегмента круга по хорде и высоте
Тогда можно приближённо считать, что
Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением
В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,
погрешность оказывается менее 1%.
Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:
Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.
Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).
Отсюда следует, что
Задача №5
Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а
Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).
Отсюда следует, что:
Площадь по первой формуле будет приблизительно равна
Как узнать площадь сектора круга
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:
O — центр круга, OA — радиус круга.
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
где S — площадь круга, а r — радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
| D = 2r, значит r = | D | . |
| 2 |
Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
| S = π( | D | ) 2 = π | D 2 | = π | D 2 | . |
| 2 | 2 2 | 4 |
Сектор круга. Площадь сектора
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Формула площади сектора:
| S = | πr 2 | · n = | πr 2 n | , |
| 360 | 360 |
где S — площадь сектора. Выражение
можно представить в виде произведения
| πr 2 n | = n · | πr | · | r | , |
| 360 | 180 | 2 |
| где | nπr | — это длина дуги сектора. |
| 180 |
Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.
Сегмент. Площадь сегмента
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:
Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.
Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:
где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.
