Что такое пропорция
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
a и d — крайние члены пропорции
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d = a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
Тема: Пропорции
Урок по математике. 6 класс.
Тема: Пропорции
Учитель математики
МОУ «ООШ с. Андреевка»
Цели урока:
дидактическая: познакомить учащихся с понятиями: пропорция, члены пропорции; верная и неверная пропорции;
научить чтению пропорции и составлению пропорций из отношений;
познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.
развитие памяти, логического мышления;
воспитательная: воспитывать уважение к труду, работе в коллективе.
Тип урока:
Урок формирования знаний (урок изучения и первичного закрепления новых знаний)
Основные понятия: пропорция, члены пропорции, верная и неверная пропорции, основное свойство пропорции.
Оборудование: проектор, компьютеры, экран
Материалы: презентация к уроку, приложение с заданиями и с самостоятельной работой.
I Организационный этап
Приветствие, проверка готовности классной комнаты к уроку, отметка отсутствующих.
Сегодня на уроке мы продолжаем изучение большого раздела курса математики. Мы закончили изучение темы «Отношение». Теперь мы приступаем к изучению новой темы в этом разделе. Необходимо заполнить таблицу, устно решив примеры и, тогда, вы узнаете тему сегодняшнего урока. Таблица на доске (Слайд №3)
Итак, мы сегодня познакомимся с понятиями – пропорция, члены пропорции, верные и неверные пропорции.
III.Проверка домашнего задания
Решение: S1пр./ S2пр. = ab / mn
IV. Введение знаний
1 Фронтальный опрос:
— Что такое отношение?
— Как можно записать отношение?
— На какие вопросы отвечает отношение?
— Как можно записать отношение двух чисел?
— Чем можно заменить знак деления?
— Как вы думаете, зачем мы повторили эти понятия?
— Они помогут нам при изучении новой темы.
2)Перед вами несколько отношений. Запишите их в тетрадь и найдите значение этих выражений.
3:0,5= 4/28= 2,7:3= 9:10= 8/56= 6:1=
Сгруппируйте отношения по определенному признаку и составьте соответствующие равенства.
— По какому признаку вы сгруппировали данные отношения?
— Полученные равенства называются пропорцией.
— Подумайте и дайте определение пропорции.
— Кто готов выйти к доске и составить определение пропорции?
3) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пропорция – равенство двух отношений.
(Определение несколько раз проговаривается учащимися)
1) Числа, составляющие пропорцию, называются членами пропорции.
2) Пропорцию можно записать с помощью букв: а : в = с : d или 
=
4)Эти записи читают:
« Отношение а к в равно отношению с к d» или « а относится к в, как с относится к d».
Прочитайте пропорцию: 1) 27 : 9 = 24 : 8; 2) 35 : 5 = 42 : 6; 3) 32 : 8 = 60 : 10.(Слайд №8)
3. Верные и неверные пропорции
1)Чтобы проверить, верна ли составленная пропорция, вычисляют числовое значение каждого отношения, составляющего пропорцию. Если эти отношения равны, то пропорция составлена, верно; если не равны, то пропорция составлена не верно.(Слайд №9)
2)Примеры: 1) Пропорция 40 : 8 = 65 : 13 составлена верно, так как 40 : 8 = 5 и 65 : 13 = 5.
3) Пропорция 2,7 : 9 = 2 : 5 составлена не верно, так как 2,7 : 9 = 0,3, а 2 : 5 = 0,4.
4) Первичное закрепление знаний
№ 000(а) – один ученик решает у доски (остальные решают в тетради); (б) – класс решает самостоятельно, затем – взаимопроверка.
4. Основное свойство пропорции.
1)Какие члены пропорции называются крайними и средними членами?
Заполните таблицу. (Приложение)
=
Произведение крайних членов
Произведение средних членов
2)Какой вывод можно сделать? (В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних). (Слайд № 10)
3).Перед вами пять равенств. Все ли они являются пропорциями? ( Слайд № 11)
Все уверены в том, что здесь три пропорции? Ведь в последнем равенстве произведение крайних членов не равно произведению средних. Вернемся к определению пропорции (Пропорция – равенство двух отношений). Третье равенство является равенством двух отношений? (является). По определению это пропорция? (да). А произведение крайних членов равно произведению средних? (нет). Значит, это пропорция…? (неправильная). Такая пропорция называется неверной. Значит, бывают пропорции неверные и …? (верные). Сформулируйте основное свойство пропорции, используя полученные знания. (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).
4)№ 000 (а;б) – решает весь класс, 2 ученика у доски.
5. Обобщение и систематизация.(Слайд № 12)
Используя основное свойство пропорции, составьте верную пропорцию из следующих чисел:
Сколько верных пропорций можно составить?
1 : 3 = 5 : 15 3 : 1 = 15 : 5 1 : 5 = 3 : 15 5 : 1 = 15 : 3
Поменяйте местами средние члены пропорции
Верна ли новая пропорция? (Слайд № 13)
6. Контроль и самопроверка знаний
Вариант I ( для слабых учащихся)
Число 18 так относится к 4, как 27 относится к 6.
Отношение трех к пяти равно отношению двух к семи.
Запишите средние члены пропорции: 1,5 : 2 = 4,5 : 6
Запишите крайние члены пропорции: 2/1,9 = 3/2,8
Верна ли пропорция 1,5 : 2 = 4,5 : 6
Верна ли пропорция 2/1,9 = 3/2,8
Верно ли высказывание:
Корень уравнения 20/5 = х/0,5 число 2
Вариант II ( для более сильных учащихся)
№1. Составьте, если можно, пропорции из следующих отношений:
а) 20:4 и 60:12; б) 6,3:0,9 и 2,8:0,4
№2. Составьте, если можно, пропорции из четырёх данных чисел:
а)100; 80; 4; 5; б) 5; 10; 9; 4,5;
№3. Проверьте двумя способами, верно ли равенство:
№4. Из следующих равенств составьте пропорцию:
Взаимопроверка (Слайд № 14).
V. Домашнее задание (Слайд № 15)
1. Определение пропорции;
2.Основное свойство пропорции.
VI. Подведение итогов урока
Что вы узнали сегодня на уроке? (Что такое пропорция, из чего состоит пропорция,
пропорции бывают верными и неверными, основное свойство пропорции)
Чему вы научились сегодня на уроке?
(определять крайние и средние члены пропорции, выяснять является пропорция верной или неверной)
Какие еще вопросы можно задать по итогам урока?
— Сколько верных пропорций можно составить из данной верной пропорции?
— Как можно определить является пропорция верной или неверной?
Определение пропорции. Верные и неверные пропорции.
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
«IQ и EQ как основа успешного обучения»
Тема: Определение пропорции. Верные и неверные пропорции.
Цели: ввести понятие пропорции, научить находить крайние и средние члены пропорции; научить составлять пропорции из отношений: ознакомить с двумя способами проверки верной пропорции; развивать грамотную математическую речь; вычислительные навыки, умение анализировать и делать выводы.
Информация для учащихся
Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно:
1. Вычислить числовое значение каждого отношения, составляющего пропорцию.
2. Если отношения равны, то пропорция составлена верно.
3. Если отношения не равны, то пропорция составлена неверно.
2 способ (основан на использовании основного свойства пропорции)
1. Найти произведение крайних членов пропорции.
2. Найти произведение ее средних членов пропорции.
3. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний учащихся
1. Познакомить учащихся с результатами самостоятельной работы.
2. Решить задания, где допущено наибольшее количество ошибок.
1. Найдите: 10% от 500; 40% от 300; 125% от 200: 50% от 620: 250% от 800.
— Как найти процент от числа?
2. Найдите значение выражений: 
3. Сосчитайте количество треугольников на чертеже.
4. На столе горят 7 свечей, 3 свечи потушили. Сколько свечей останется на столе через 5—6 часов? (3.)
5. Сторона квадрата 6 см. На сколько увеличится периметр этого квадрата, если каждая сторона увеличится на 3 см? Что произойдет с площадью квадрата?
IV . Индивидуальная работа
Работу 1-го и 2-го уровня проверяют сильные учащиеся; работу повышенного уровня проверяет учитель.
1 карточка. I уровень
Решите уравнения относительно х:
2 карточка. II уровень
Решите уравнения относительно x :
3 карточка. Повышенный уровень Решите уравнения относительно х:
V. Сообщение темы урока
— Прочитайте слово: я и о о п п р р ц. Правильно: пропорция. Сегодня на уроке мы познакомимся с пропорциями, узнаем, что они могут быть верными и неверными, научимся составлять верные пропорции.
VI. Изучение нового материала
1. Подготовительная работа.
— Придумайте отношение, равное 5.
Записать на доске все ответы.
— Если наши отношения равны 5, я могу составить из них равенства:
— Как по-другому записать данное равенство? (Записать частное в виде дроби.)
Определение. Равенство двух отношений называют пропорцией.
2. Работа над новой темой.
а) Запишем пропорцию в буквенном виде: 
Будем считать, что а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
— Прочитайте по-разному пропорции, записанные на доске.
— Числа а и d называют крайними членами пропорции, а числа b и с — средними членами.
— Назовите крайние и средние члены пропорций.
б) Рассмотрим первую пропорцию: 100 : 200 = 4:8.
— Найдем произведение ее крайних и произведение ее средних членов.
— Сравните эти произведения. (Они равны.)
— Проверьте еще две пропорции.
— Что интересного заметили?
— Какой вывод можно сделать? (Произведение крайних членов равно произведению средних членов.)
— Я еще добавлю, что это справедливо для пропорции, которая называется верной.
— В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
— Сформулируйте обратное утверждение. (Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.)
— Это свойство называется основным свойством пропорции.
— Запишем это свойство в буквенном виде: а · d = b · с.
a и d — крайние члены
b и с — средние члены
а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
VII. Физкультминутка (слайд шоу )
VIII. Закрепление изученного материала
— Какой вывод можно сделать? (Так как отношения равны, то пропорции составлены верно.)
— Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно вычислить числовое значение каждого отношения.
— Если отношения равны, то пропорция составлена верно.
— Если отношения не равны, то пропорция составлена неверно.
IX. Работа над задачей
№ 13 сборник задач(на обратной стороне доски и в тетрадях).
— Решить задачу двумя способами.
— Разобрать только с теми учащимися, которые не понимают, как решать. Они решают только одним способом.
— Зная, что вместо 240 холодильников фактически выпускали 300, что можно узнать? (Сколько холодильников выпускали сверх нормы.)
— Зная, сколько холодильников выпускали сверх норы и зная норму выпуска, что можем узнать? <На сколько процентов увеличилось производство холодильников за смену.)
2) 
— увеличилось производство холодильников за смену.
1) 
— составляет выпуск холодильников сверх нормы.
X. Подведение итогов урока
— Что такое пропорция?
— Как называются числа х и у в пропорции х : a = b : у?
— Как называются числа а и b в пропорции х : a = b : у?
— Сформулируйте основное свойство пропорции.
Цвет настроения: оставить на радуге- политре.
Домашнее задание Тестовое задание 1 тема 3
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Номер материала: ДБ-508892
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учеба в школах в дни выборов в Госдуму будет идти в штатном режиме
Время чтения: 1 минута
В России каждый второй школьник хочет работать в IT
Время чтения: 1 минута
Типовые программы для школ разработают к следующему учебному году
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор дал рекомендации по проведению контрольных работ
Время чтения: 1 минута
Минприроды будет приглашать школьников на оплачиваемую практику в заповедниках
Время чтения: 1 минута
Всероссийская олимпиада школьников начнется 13 сентября
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Пропорции
Цели: Ввести понятие пропорции, ее членов; научить составлять пропорции из отношений; ознакомить с двумя способами проверки верной пропорции; развивать грамотную математическую речь.
Информация для учителя
Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно:
1. Вычислить числовое значение каждого отношения, составляющего пропорцию.
2. Если отношения верны, то пропорция составлена верно.
3. Если отношения не равны, то пропорция составлена не верно.
1. Найти произведения крайних членов пропорции.
2. Найти произведение ее средних членов
3. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
I. Организационный момент
1. Найдите: 10% от 500; 40% от 300; 125% от 200; 50% от 620; 250% от 800.
— Как найти процент от числа?
2. Найдите значение выражений: 1/3 + 2/7; 3/8 – 1/3; 4/5 + 2/3; 5/6 – 2/3; 5 – 2/3; 8 – 4/5
III. Работа над задачей
1. Решаем задачу на повторение № 000 (стр.119) (на обратной стороне доски и в тетрадях)
— Решить задачу двумя способами.
— Разобрать только с теми учащимися, которые не понимают, как решать. Они решают только одним способом.
— Зная, что вместо 240 холодильников фактически выпустили 300, что можно знать? (Сколько холодильников выпустили сверх нормы.)
— Зная, сколько холодильников выпустили сверх нормы и зная норму выпуска, что можем узнать? (На сколько процентов увеличилось производство холодильников за смену.)
1) 300 – 240 = 60 (х.) – выпустили сверх нормы.
В задаче встречается действие деление. Как по другому можно назвать это действие между числами?
Правильно. Так вот мы продолжим изучать отношения …
IV. Сообщение темы урока
— Прочитайте слово: я и о о п п р р ц. Правильно: пропорция. Сегодня на уроке мы познакомимся с пропорциями, узнаем, что они могут быть верными и неверными, научимся составлять верные пропорции.
V. Изучение нового материала
1. Подготовительная работа.
— Придумайте отношение, равное 5.
Записать на доске все ответы.
— Если наши отношения равны 5, я могу составить из них равенства:
100 : 200 = 4: 8 5 : 1 = 500 : 100
100 : 20 = 1/5 : 1/25 50 % 10 = 1/5 : 1/25
— Как по другому записать данное равенство? (Записать частное в виде дроби.)
Определение. Равенство двух отношений называют пропорцией.
2. Работа над новой темой.
а) Запишем пропорцию в буквенном виде: a/b = c/d
Будем считать, что а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
— Читают: отношение a к b равно отношению c к d.
— Или «а так относится к b, как c относится к d».
— Назовите крайние и средние члены пропорций.
б) Рассмотрим первую пропорцию: 100 : 200 = 4 : 8.
— Найдите произведение ее крайних и произведение ее средних членов.
— Сравните эти произведения. (Они равны.)
— Проверьте еще две пропорции
— Что интересного заметили?
— Какой вывод можно сделать? (Произведение крайних членов равно произведению средних членов.)
— Я еще добавлю, что это справедливо для пропорции, которая называется верной.
— В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
— Сформулируйте обратное утверждение. (Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.)
— Это свойство называется основным свойством пропорции.
— Запишем это свойство в буквенном виде:
 |
a : b = c : d
a и d – крайние члены
b и c – средние члены
а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0; d ≠ 0.
VI. Закрепление изученного материала
а) 5 : 3 = 2 : 1 : 2; 5/3 = 2/1,2; 5/3 = 1 2/3; 2/1,2 = 20/12 = 5/3 = 1 2/3;
б) 0,9 : 1/3 = 45 : 16 2/3; 0,9 : 1/3 = 9·3/10·1 = 2,7; 45 : 16 2/3 = 45·3/50 = 27/10 = 2,7
в) 2/7 : 0,1 = 14 :4,9: 2/7 : 0,1 = 2·10/7·1 = 20/7 = 2 6/7; 14 : 4,9 = 14·10/49 = 140/49 = 2 6/7.
— Какой вывод можно сделать? (Так отношения равны, то пропорции составлены верно.)
— Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, можно вычислить числовое значение каждого отношения.
— Если отношения равны, то пропорция составлена верно.
— Если отношения не равны, то пропорция составлена не верно.
