как узнать знаменатель геометрической прогрессии

Как найти знаменатель геометрической прогрессии

Пример.
Пусть имеется последовательность чисел:

Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:

1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.

2 вариант. Возьмем любой член геометрической прогрессии (например, 10) и разделим на него последующий (30): 30/10=3.

Ответ: знаменатель геометрической прогрессии 10, 30, 90, 270. равен 3.

Если значения членов геометрической прогрессии заданы не явно, а в форме соотношений, то составьте и решите систему уравнений.
Пример.
Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).

Требуется найти знаменатель прогрессии.
Решение:

Запишите условие задачи в виде системы уравнений:
b1+b4=400

b2+b5=100
Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:

b5=b1*q^4, где q – общепринятое обозначение знаменателя геометрической прогрессии.
Подставив в систему уравнений значения членов прогрессии, получите:
b1+ b1*q^3=400

b1*q+ b1*q^4=100
После разложения на множители получается:
b1*(1+q^3)=400

b1*q(1+q^3)=100
Теперь разделите соответствующие части второго уравнения на первое:
[b1*q(1+q^3)] / [b1*(1+q^3)] = 100/400, откуда: q=1/4.

Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.

Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.

Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:

Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.

Источник

Как узнать знаменатель геометрической прогрессии

Коды ОГЭ по математике: 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии. 4.2.4. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

Или b_n+1 = b_n • q.

Пример 1. Пусть b₁ = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

Формула n–го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, a знаменатель равен q:

b_n = b₁ • q n–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Пример 3. В геометрической прогрессии b₃ = –1/2, b₆ = 4. Найдём b₁₂.

Изображение членов геометрической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то

Заметим, что если 0

Это конспект по математике на тему «Геометрическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего умножением его на постоянное число, не равное нулю.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой \(q\).

Например, последовательность \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):

Как и любую последовательность, геометрическую прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой, что и геометрическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, геометрическая прогрессия \(b_n = \<3; 6; 12; 24; 48…\>\) состоит из элементов \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и так далее. Иными словами:

порядковый номер элемента

Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.

Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:

Зная первый член и знаменатель, последовательно вычисляем элементы, пока не дойдем до нужного.

Можно писать ответ.

Пример (ОГЭ): Даны первые три члена прогрессии \(324\); \(-108\); \(36\)…. Найдите \(b_5\).
Решение:

Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить \(324\), чтоб получилось \(-108\)?

Отсюда без проблем вычисляем знаменатель.

Теперь мы легко находим нужный нам элемент.

Пример: Прогрессия задана условием \(b_n=0,8·5^n\). Какое из чисел является членом этой прогрессии:

Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).

Найти \(x\), можно, например, умножив \(8\) на знаменатель прогрессии. Однако мы его не знаем, поэтому сначала найдем знаменатель из двух известных соседних членов.

Теперь вычисляем икс, умножая \(8\) на \(-2,5\).

Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями \(b_1=7\), \(b_=2b_n\). Найдите сумму первых \(4\) членов этой прогрессии.

Теперь найдем сумму.

Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Найдите знаменатель \(q\).

Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из \(b_6\) в \(b_9\) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем \(b_6\) на знаменатель прогрессии. Иными словами \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).

Подставим известные нам значения.

«Перевернем» уравнение и разделим его на \((-11)\).

Какое число в кубе даст \(-64\)?
Конечно, \(-4\)!

Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от \(-11\) до \(704\).

Важнейшие формулы

Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.

Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1·q^\), где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – номер искомого элемента; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(b_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.

Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:

Нам нужен четвертый член, вот и вычисляем его сразу, напрямую, не находя всех промежуточных.

Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.

Пример: Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=20480\); \(q=\frac<1><2>\). Найдите \(b_<12>\).
Решение:

Действуем как в предыдущей задаче.

Конечно, возводить \(\frac<1><2>\) в \(11\)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем \(11\) раз делить \(20480\) на два.

Пример (ОГЭ): Дана геометрическая прогрессия \(b_n\), знаменатель которой равен \(5\), а первый член \(b_1=\frac<2><5>\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Все данные есть, сразу вычисляем ответ.

И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.

Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии

У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии \(b_n = \<3; 6; 12; 24; 48…\>\) знаменатель \(q\) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.

Если же \(q\) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… знаменатель \(q\) равен \(\frac<1><2>\).

Эти прогрессии называются убывающими. Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».

Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например, у прогрессии \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)… знаменатель \(q\) равен \(-3\), и из-за этого знаки элементов «мигают».

Источник

Геометрическая прогрессия и сумма ее членов

теория по математике 📈 последовательности

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

Рассмотри на примерах применение формулы b n = b 1 q n − 1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

b 4 = b 1 q 4 − 1 = b 1 q 3

b 6 = b 1 q 6 − 1 = b 1 q 5 = 2 × ( − 3 ) 5 = − 486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b 2 n = b n − 1 × b n + 1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b 2 5 = b 5 − 1 × b 5 + 1 = b 4 × b 6 = 32 × 128 = 4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅= √ 4096 =64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у= √ 24 × 96 = √ 2304 =48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель: Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами. Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3. Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

Способ №2 (вторая формула).

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Источник

Геометрическая прогрессия

Что нужно знать

Что вы узнаете

Геометрическая прогрессия

Выберите из перечисленных ниже последовательностей геометрическую прогрессию:

Из этой формулы следует такое равенство:

Не арифметическая и не геометрическая прогрессия

Решите теперь следующую задачу:

Сумма первых n n n членов геометрической прогрессии

Среди заданий 11 ЕГЭ не бывает задач на сумму геометрической прогрессии. Однако эту тему полезно знать для решения более сложных экзаменационных и практических задач.

Формула суммы геометрической прогрессии оказывается очень полезной для решения практических задач, особенно в области финансов.

Например, если выручка компании увеличивается каждый год на определенный процент, то суммарная выручка за 1 0 10 1 0 лет — это сумма геометрической прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 1 q\neq 1 q ≠ 1 можно найти по формуле:

Доказать эту формулу несколько сложнее, чем формулу суммы арифметической прогрессии. Тем не менее полезно познакомиться с ее доказательством.

Докажем утверждение по индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать и значительно более сложные утверждения.

Решите задачу с помощью этой формулы:

Дисконтированный денежный поток (дополнительно)

Еще одно важное применение геометрической прогрессии в финансах — расчет суммы приведенных (дисконтированных) денежных потоков. Если вы усвоите этот принцип, вам будет понятно, как финансисты рассчитывают справедливую стоимость актива (не важно, какого: акции, слитка золота, выданного кредита или даже коровы, которая дает молоко).

Мы называем денежным потоком любую сумму денег, которую получает (или планирует получить) человек или фирма в определенный период времени (например, в течение 2 0 1 5 2015 2 0 1 5 года). Будем называть человека, который ожидает получить денежный поток, инвестором.

Конечно же, прямо сейчас! Даже если вам не на что тратить эти деньги прямо сейчас, вы можете положить их в банк под процент и через год получить уже больше, чем 1 0 0 0 1000 1 0 0 0 рублей. Например, если банк принимает депозиты под 1 0 % 10\% 1 0 % годовых, через год у вас будет 1 1 0 0 1100 1 1 0 0 рублей.

Рассмотрим еще один пример:

Бесконечная геометрическая прогрессия

Заключение

Задачи с арифметическими и геометрическими прогрессиями часто встречаются на практике. Если в условии говорится об увеличении на одну и ту же величину, то речь идет об арифметической прогрессии. Если же происходит увеличение в одно и то же число раз, либо на одно и то же число процентов, то речь идет о геометрической прогрессии.

Следующие формулы позволяют решить практически любую задачу на прогрессии:

Источник